3차원을 머릿속으로 그리는 게 안 된다고요? 공간도형 문제만 보면 어디서부터 시작해야 할지 막막하게 느껴지시죠.
공간도형은 공간 감각이 핵심입니다. 처음에는 누구나 3차원을 상상하기 어렵습니다. 하지만 그림을 많이 그리고 실제 모형을 만들어보면 점점 감각이 생깁니다. 2차원에서 성분이 하나 더 늘어난 것뿐이라고 생각하면 됩니다. 평면벡터를 이해했다면 공간벡터도 같은 원리로 풀 수 있습니다.
시험 전에는 집중 대비합니다. 시험 범위를 철저히 준비합니다.
공간좌표와 거리
공간좌표는 x와 y와 z 세 성분으로 점의 위치를 나타냅니다. 원점은 O 괄호 0, 0, 0입니다. 두 점 A 괄호 x1, y1, z1과 B 괄호 x2, y2, z2 사이 거리는 루트 괄호 x2 빼기 x1 제곱 더하기 y2 빼기 y1 제곱 더하기 z2 빼기 z1 제곱입니다. 피타고라스 정리를 3차원으로 확장한 것입니다.
자신감을 키워줍니다. 할 수 있다는 믿음이 중요합니다.
공간벡터
공간벡터는 3성분으로 표현됩니다. 벡터 a는 괄호 a1, a2, a3입니다. 크기는 루트 괄호 a1 제곱 더하기 a2 제곱 더하기 a3 제곱입니다. 내적은 a 내적 b는 a1 곱하기 b1 더하기 a2 곱하기 b2 더하기 a3 곱하기 b3입니다. 두 벡터가 수직이면 내적이 0입니다. 외적은 두 벡터에 모두 수직인 벡터를 만듭니다. 평면의 법선벡터를 구할 때 유용합니다.
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직선과 평면의 방정식
직선의 방정식은 매개변수로 표현합니다. 점 A와 방향벡터 d가 주어지면 x는 x0 더하기 a 곱하기 t, y는 y0 더하기 b 곱하기 t, z는 z0 더하기 c 곱하기 t입니다. 평면의 방정식은 법선벡터로 표현합니다. 법선벡터가 괄호 A, B, C이면 방정식은 Ax 더하기 By 더하기 Cz 더하기 D는 0입니다. 점과 평면 사이 거리 공식은 분자가 Ax0 더하기 By0 더하기 Cz0 더하기 D의 절댓값이고 분모가 루트 괄호 A 제곱 더하기 B 제곱 더하기 C 제곱입니다.
기출문제를 분석합니다. 출제 경향을 파악하면 대비가 쉬워집니다.
정사영
정사영은 점이나 도형을 평면에 수직으로 내린 그림자입니다. 선분 AB를 평면에 정사영하면 길이는 AB 곱하기 cos 세타입니다. 도형의 넓이 S를 정사영하면 넓이는 S 곱하기 cos 세타입니다. 세타는 각각 선분과 평면이 이루는 각, 두 평면이 이루는 각입니다.
학생의 페이스에 맞춥니다. 빠르게 갈 수 있으면 빠르게, 천천히 가야 하면 천천히.
자주 묻는 질문
Q. 공간을 어떻게 상상하나요?
처음에는 그림을 많이 그려보세요. 실제 모형을 만들어보는 것도 좋습니다.
Q. 외적은 왜 배우나요?
두 벡터에 수직인 벡터를 구하기 위해서입니다. 평면의 법선벡터를 찾을 때 유용합니다.
Q. 공간도형 문제 풀이 순서는?
그림 그리기 다음 좌표 설정 다음 벡터 이용 다음 계산 순서입니다.
마무리
공간도형은 3차원 세계를 수학적으로 이해하는 도구입니다. 공간 감각을 키우고 벡터를 활용하면 복잡한 문제도 풀 수 있습니다.
수업 후 피드백을 드립니다. 오늘 무엇을 배웠고, 무엇을 더 해야 하는지 알려드립니다.