함수가 도대체 뭔지 감이 안 잡힌다고요? 그래프를 어떻게 그려야 하는지 막막하시죠.
함수는 두 집합 사이의 대응 관계입니다. X의 각 원소에 Y의 원소가 하나씩 대응하면 함수입니다. 함수는 수학의 언어이며 중학교부터 대학까지 모든 수학의 기초가 됩니다. 정의를 정확히 이해하고 그래프로 시각화하면 어렵지 않습니다.
선행보다 현행이 중요합니다. 지금 배우는 것을 확실히 해야 합니다.
함수의 기본 개념
함수가 되려면 정의역의 모든 원소가 대응해야 하고 각 원소는 하나의 값에만 대응해야 합니다. 일부 원소에 대응이 없거나 한 원소가 두 개 이상에 대응하면 함수가 아닙니다. 정의역은 입력값 집합이고 공역은 출력값 집합이고 치역은 실제 대응된 값들입니다. 함숫값은 f 괄호 x로 표기합니다.
결과를 급하게 기대하지 않습니다. 시간이 필요합니다. 꾸준히 하면 반드시 오릅니다.
함수의 종류
일차함수 f 괄호 x가 ax 더하기 b는 직선 그래프입니다. 기울기가 a이고 y 절편이 b입니다. 이차함수 f 괄호 x가 ax 제곱 더하기 bx 더하기 c는 포물선 그래프입니다. 꼭짓점과 대칭축이 있습니다. 유리함수 f 괄호 x가 k 나누기 x는 쌍곡선 그래프이고 지수함수 f 괄호 x가 a의 x 제곱은 폭발적으로 증가하거나 감소합니다. 로그함수는 지수함수의 역함수입니다.
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단계별로 진행합니다. 갑자기 어려운 내용으로 넘어가지 않습니다.
그래프 그리기와 변환
그래프를 그릴 때는 정의역을 확인하고 특수값을 계산하고 증가 감소를 파악하고 대칭성을 확인하고 점근선을 찾습니다. 평행이동에서 f 괄호 x 빼기 a는 오른쪽으로 a만큼 이동이고 f 괄호 x 더하기 b는 위로 b만큼 이동입니다. 대칭이동에서 마이너스 f 괄호 x는 x축 대칭이고 f 괄호 마이너스 x는 y축 대칭입니다.
방학은 부족한 부분을 채우는 시간입니다. 효율적으로 활용합니다.
합성함수와 역함수
합성함수 g 동그라미 f 괄호 x는 g 괄호 f 괄호 x입니다. f를 먼저 g를 나중에 적용합니다. 교환법칙은 성립하지 않습니다. 역함수는 f 괄호 a가 b면 f 역함수 괄호 b가 a입니다. 정의역과 치역이 교환됩니다. 역함수의 그래프는 원래 함수와 y가 x에 대해 대칭입니다.
꾸준함이 중요함을 알려드립니다. 하루에 많이 하는 것보다 매일 조금씩이 낫습니다.
자주 묻는 질문
Q. 함수가 왜 중요한가요?
수학의 거의 모든 분야에 등장합니다. 물리와 경제와 생물 등에도 응용됩니다.
Q. 함수와 방정식의 차이는요?
함수는 대응 관계이고 방정식은 특정 값을 만족하는 x를 찾는 것입니다.
Q. 합성함수 순서가 헷갈려요.
g 동그라미 f 괄호 x는 f를 먼저 g를 나중에입니다. 안에서 바깥으로 계산합니다.
마무리
함수는 수학의 언어이며 모든 수학의 기초입니다. 정의를 정확히 이해하고 그래프로 시각화하면 함수를 정복할 수 있습니다. 함수를 정복하면 수학이 쉬워집니다.
목표를 명확히 설정합니다. 목표가 있어야 동기가 생깁니다.