로그가 왜 필요한지 모르겠다고요? 부산 연산동 고등학생이라면 지수와 로그의 관계부터 확실히 이해해야 합니다.
지수와 로그는 서로 역연산 관계입니다. 지수를 알면 로그가 자연스럽게 따라옵니다. 이 관계를 이해하지 못하면 계속 헷갈립니다.
지수와 로그를 따로 외우게 하지 않습니다. 두 개념의 관계를 먼저 이해하면 공식 암기가 쉬워집니다.
지수함수의 이해
지수함수는 y = a^x 형태입니다. 밑 a는 양수이고 1이 아닙니다.
a가 1보다 크면 증가함수입니다. x가 커질수록 y도 커집니다. 기하급수적으로 커지기 때문에 ‘폭발적 성장’을 표현할 때 사용합니다.
a가 0과 1 사이면 감소함수입니다. x가 커질수록 y는 작아집니다. 물질의 반감기를 설명할 때 이 형태를 사용합니다.
그래프를 직접 그려봅니다. 밑이 바뀌면 그래프가 어떻게 변하는지 눈으로 확인합니다.
로그함수의 이해
로그함수는 지수함수의 역함수입니다. y = log_a(x)는 a^y = x와 같습니다.
로그의 정의를 확실히 알아야 합니다. log_2(8) = 3이라는 것은 2^3 = 8이라는 뜻입니다.
상용로그와 자연로그도 자주 나옵니다. log는 밑이 10, ln은 밑이 e입니다.
로그 정의를 지수 형태로 바꾸는 연습을 반복합니다. 이 변환이 자연스러워야 문제를 풀 수 있습니다.
지수법칙과 로그법칙
지수법칙은 세 가지가 핵심입니다. a^m × a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), a^m ÷ a^n = a^(m-n)입니다.
로그법칙도 세 가지입니다. log(MN) = logM + logN, log(M/N) = logM - logN, log(M^n) = n·logM입니다.
지수법칙과 로그법칙은 대응 관계가 있습니다. 지수의 곱셈이 로그의 덧셈에 대응합니다.
법칙을 외우기 전에 왜 그런지 유도해봅니다. 유도할 줄 알면 시험장에서 까먹어도 다시 만들 수 있습니다.
지수방정식과 로그방정식
지수방정식은 밑을 같게 만드는 게 핵심입니다. 밑이 같으면 지수끼리 비교할 수 있습니다.
로그방정식은 진수 조건에 주의해야 합니다. 진수는 반드시 양수여야 합니다.
치환을 활용하면 복잡한 방정식도 쉽게 풀 수 있습니다. 2^x = t로 놓으면 2차방정식으로 바뀝니다.
풀이 과정에서 실수하기 쉬운 부분을 짚어드립니다. 진수 조건 확인을 빼먹는 실수가 많습니다.
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자주 묻는 질문
Q. 로그가 너무 어려워요.
지수와 로그의 관계를 먼저 이해하세요. 둘은 같은 것의 다른 표현입니다.
Q. 로그 계산에서 자꾸 틀려요.
진수 조건을 꼭 확인하세요. 음수나 0이 나오면 안 됩니다.
Q. 지수함수 그래프를 빨리 그리는 방법이 있나요?
점 (0, 1)을 지나고 점근선이 x축이라는 것만 기억하세요. 밑에 따라 증가/감소만 판단하면 됩니다.
Q. 수능에서 지수 로그가 많이 나오나요?
매년 출제됩니다. 특히 지수 로그 부등식은 킬러 문제로 자주 나옵니다.
마무리
지수와 로그, 원리를 알면 어렵지 않습니다. 부산 연산동에서 두 개념의 관계를 확실히 잡아보세요.